KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2011 – 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN : TOÁN KHÔNG CHUYÊN
NGÀY THI : 21/06/2011
Thời gian : 120 phút
Bài 1 (2đ)
Đơn giản biểu thức

Cho biểu thức
Rút gọn P và chứng tỏ P

Bài 2 (2đ)
Cho phương trình bậc hai x2 + 5x + 3 = 0 có 2 nghiệm x1; x2. Hãy lập một phương trình bậc 2 có 2 nghiệm (x12 + 1) và (x22 + 1).
Giải hệ phương trình

Bài 3(2đ). Quãng đường từ A đến B dài 50 km. Một người dự định đi xe đạp từ A đến B với vân tốc không đổi. Khi đi được 2 giờ, người ấy dừng lại 30 phút để nghỉ. Muốn đến B đúng thời gian đã định, người đi xe đạp phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của người đi xe đạp.
Bài 4 (4đ). Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và H là trực tâm. Vẽ hình bình hành BHCD. Đường thẳng đi qua D và song song BC cắt đường thẳng AH tại E.
Chứng minh A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh
.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm của BC, đường thẳng AM cắt OH tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
Giả sử OD = a. Hãy tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo a.

-----------HẾT-----------











KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2011 – 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN : TOÁN CHUYÊN
NGÀY THI : 22/06/2011
Thời gian : 150 phút
Bài 1(2đ)
Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức

Cho x, y là các số khác 0 và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Bài 2 (2đ)
Giải phương trình

Với x, y, z là các số dương, giải hệ phương trình

Bài 3. (2đ)
Cho ba số a, b, c thỏa mãn
. Chứng minh:
.
Cho a, b là các số nguyên dương sao cho
là 1 số nguyên. Gọi d là ước của số a và b.
Chứng minh

Bài 4.(3đ) Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R (R là độ dài cho trước) lấy hai điểm M. N (M. N khác A và B) sao cho M thuộc cung
và tổng các khoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN bằng
.
Tính độ dài đoạn thẳng MN theo R.
Gọi I là giao điểm của AN và BM, K là giao điểm của AM và BN. Chứng minh bốn điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo R.
Tìm GTLN của diện tich tam giác KAB theo R khi M, N thay đổi trên nửa đường tròn (O) nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết bài toán.
Bài 5. (1đ) Cho hình thoi ABCD có
. Tia Ax tạo với tia AB một góc
và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Tính giá trị của biểu thức


-------------------HẾT-------------------
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM TOÁN CHUYÊN
BÀI
ĐÁP ÁN
ĐIỂM

1.1


0.25




0.25




0.5

1.2
Ta có x + y = 1 suy ra x3 + y3 + xy = (x+y)(x2 + y2 –xy) + xy = x2 + y2
0.25




0.25


Đẳng thức xảy ra
. Vậy
nhỏ nhất bằng


0.25


Suy ra
lớn nhất bằng 2

0.25

2.1


0.25


Đặt y =
. Phương trình trở thành y(y-5) = 24


0.25




0.5

2.2
Hệ đã cho

0.25


Nhân (1), (2), (3) vế theo vế ta được

Do x, y, z lần lượt là các số dương, suy ra
(4)
0.25


Lần lượt chia (4) cho (1), (2), (3) ta được

Cộng (5), (6), (7) vế theo vế ta có 2(x +